Logical Foundations of Fuzzy Mathematics
Logické základy fuzzy matematiky
PhD disertace L. Běhounka – prezentace pro soutěž ČSKI o cenu Antonína Svobody

"... To bude Tonda Svoboda čubrnět, až mu o tom napíši!" (Vladimír Vand, 1946)

Disertace a přílohy

• Disertace – úplný text včetně publikovaných článků (255 stran, PDF 1,3 MB)
• Shrnující studie – úvodní část disertace (50 stran, PDF 360 KB)
• Teze disertační práce – stručný souhrn výsledků disertace (10 stran, PDF 200 KB)
• Český a anglický abstrakt – příloha disertace (2+2 strany, PDF 50 KB)
• Stránky projektu FCT – širší projekt, jehož je disertace součástí
• Domovská stránka autora, stručný odborný životopis k r. 2010 (příloha přihlášky soutěže, 2 strany, PDF 110 KB) a úplný odborný životopis (průběžně aktualizovaný, PDF)

Údaje o disertaci

Práce sestává z 6 článků publikovaných v recenzovaných mezinárodních časopisech a 4 článků publikovaných v recenzovaných sbornících mezinárodních konferencí, doplněných 50-stránkovou úvodní studií. Disertace byla obhájena 1. října 2010 na Filozofické fakultě Univerzity Karlovy v Praze (obor Logika), školitelem byl doc. PhDr. Petr Jirků, CSc., konzultantem prof. RNDr. Petr Hájek, DrSc.

K datu odevzdání práce (duben 2009) získaly v ní obsažené články 25 citací v recenzovaných mezinárodních časopisech a 15 citací v recenzovaných sbornících mezinárodních konferencí (bez započítání autocitací a citací od spoluautorů). Dva ze spoluautorovaných konferenčních článků souvisejících s disertací získaly cenu za nejlepší příspěvek (Best Paper Award) a oceněný studentský příspěvek (Distinguished Student Paper Award) na světovém kongresu IFSA (Peking 2005) a konferenci EUSFLAT (Ostrava 2007). Projekt logických základů fuzzy matematiky, jehož je disertace součástí a na jehož vytvoření se autor spolupodílel (viz oddíl I.4 disertace, str. 22 a dále), byl mj. podpořen juniorským grantem GA AV ČR (2005–7) a autorovým postdoktorandským grantem GA ČR (2010–12).

Abstrakt

Předložená disertační práce sestává z autorových publikovaných článků o logických základech fuzzy matematiky, doplněných shrnující studií (tvořící úvodní část disertace), ve které je představen formálnělogický přístup k fuzzy matematice. Dále je v ní dokládána důležitost výzkumu v tomto oboru a charakerizován jeho současný stav, popsán autorův příspěvek k oboru a podány komentáře k jednotlivým článkům, z nichž se disertace skládá.

Fuzzy matematiku lze vymezit jako studium fuzzy struktur, tj. takových matematických struktur, v nichž je dvojice hodnot 0, 1 na některých místech nahrazena bohatším systémem stupňů. V přístupu založeném na formální logice jsou fuzzy struktury zachyceny prostřednictvím axiomatických teorií ve vhodných systémech fuzzy logiky, jejichž pravidla jsou použita pro formální odvozování teorémů namísto pravidel klasické logiky. Hlavními výhodami logického přístupu k fuzzy matematice jsou všeobecná gradualita definovaných pojmů, metodologická čistota daná aplikací axiomatické metody a použitelnost podobné základové architektury jako v klasické matematice. Na logice založená fuzzy matematika je součástí neklasické matematiky (tj. rodiny matematických teorií axiomatizovatelných v neklasických logikách), a zároveň tvoří specifickou část širšího oboru fuzzy metod. Systematické zkoumání fuzzy matematiky v přístupu založeném na logice, navazující na předchozí ojedinělé výzkumy podobného přístupu k teorii fuzzy množin a aritmetice, bylo umožněno nedávným pokrokem v oblasti prvořádové fuzzy logiky. Díky němu bylo možno vyvinout henkinovskou fuzzy logiku vyššího řádu (čili jednoduchou fuzzy teorii typů), jež může sloužit jako základová teorie pro formální fuzzy matematiku. Autorovy příspěvky k výzkumu logických základů fuzzy matematiky byly publikovány v článcích, které tvoří hlavní část disertace:

• Článek On the difference between traditional and deductive fuzzy logic (K rozdílu mezi tradiční a deduktivní fuzzy logikou) vyjasňuje metodologické předpoklady formální fuzzy logiky ve srovnání s předpoklady tradiční fuzzy matematiky a stanovuje požadavky na systémy fuzzy logiky vyhovující takovému přístupu k fuzzy matematice, jaký je rozvíjen v této disertaci.
• V článku From fuzzy logic to fuzzy mathematics: a methodological manifesto (Od fuzzy logiky k fuzzy matematice – metodologický manifest, spoluautor P. Cintula) jsou formulovány metodologické zásady na logice založeného přístupu k fuzzy matematice a je navržena její základová architektura způsobem analogickým k základům klasické matematiky, se třemi vrstvami tvořenými prvořádovou fuzzy logikou, v ní axiomatizovanou základovou teorií a jednotlivými matematickými disciplínami vyvíjenými v rámci této základové teorie.
• V článku Fuzzy class theory (Teorie fuzzy tříd, spoluautor P. Cintula) je zavedena henkinovská fuzzy logika vyššího řádu (zvaná též teorie fuzzy tříd, zkr. FCT z angl. Fuzzy Class Theory), jakožto axiomatická aproximace Zadehova pojmu fuzzy množiny. Tato teorie je zde navržena za základovou teorii pro formální fuzzy matematiku. V článku jsou dokázány metavěty FCT, které redukují značnou část elementární teorie fuzzy množin na výrokovou fuzzy logiku, a je ukázána interpretovatelnost klasických teorií vyššího řádu v FCT (díky níž jsou v FCT k dispozici klasické matematické struktury).
• V článku Relations in Fuzzy Class Theory: initial steps (Relace v teorii fuzzy tříd – počáteční kroky, spoluautoři U. Bodenhofer a P. Cintula) jsou v rámci FCT vybudovány základy teorie fuzzy relací, jež tvoří nezbytný předpoklad zkoumání ostatních partií fuzzy matematiky. V článku se zkoumají zejména základní graduální vlastnosti fuzzy relací, obrazy, závory, valverdovské charakterizace a fuzzy rozklady.
• V článku Relational compositions in Fuzzy Class Theory (Skládání relací v teorii fuzzy tříd, spoluautorka M. Daňková) popisuje redukci rozsáhlé rodiny pojmů teorie fuzzy relací a fuzzy množin na pojem skládání fuzzy relací a ukazuje metodu hromadných důkazů vět o těchto pojmech.
• Článek Extensionality in graded properties of fuzzy relations (Extenzionalita u graduálních vlastností fuzzy relací) zavádí graduální vlastnosti fuzzy relací definované relativně vůči dané relaci nerozlišitelnosti a studuje jejich vztah k vlastnosti extenzionality, s níž v tradiční fuzzy matematice splývají, v přístupu založeném na logice se však od ní liší.
• Článek Towards a formal theory of fuzzy Dedekind reals (Předběžné poznámky k formální teorii dedekindovských fuzzy reálných čísel) podává konstrukci fuzzy reálných čisel pomocí svazového zúplnění klasické reálné číselné osy fuzzy dedekindovskými řezy a uvádí některé výsledky potřebné k vybudování fuzzy intervalové aritmetiky.
• V článku Fuzzification of Groenendijk–Stokhof propositional erotetic logic (Fuzzifikace výrokové Groenendijkovy-Stokhofovy erótetické logiky) je aparát FCT použit jako formální sémantika pro logiku fuzzy otázek.
• V závěrečných článcích Topology in Fuzzy Class Theory: basic notions (Topologie v teorii fuzzy tříd – základní pojmy) a Interior-based topology in Fuzzy Class Theory (Topologie definovaná pomocí operátoru vnitřku v teorii fuzzy tříd, spoluautor obou článků T. Kroupa) jsou v rámci přístupu založeném na logice zavedeny pojmy fuzzy topologie definované pomocí otevřených či uzavřených množin, okolí bodů a operátoru vnitřku a prozkoumány jejich vzájemné vztahy.